¿Qué significa la distancia euclidiana?
La distancia euclidiana generalmente se refiere a la métrica euclidiana.
En matemáticas, la distancia euclidiana o métrica euclidiana es la distancia "ordinaria" (es decir, en línea recta) entre dos puntos en el espacio euclidiano. Usando esta distancia, el espacio euclidiano se convierte en un espacio métrico. La norma asociada se llama norma euclidiana. La literatura más antigua la llamó la medida pitagórica.
El espacio métrico también se llama espacio de distancias. Un espacio topológico en el que la topología está determinada por la distancia. Supongamos que R es un conjunto no vacío, ρ (x, y) es una función binaria en R, que satisface las siguientes condiciones:
1. ρ(x,y)≥0 y ρ(x,y)=0?x=y.
2. ρ(x,y)=ρ(y,x).
3. (Desigualdad del triángulo) ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (y, z).
Entonces ρ (x, y) se llama distancia entre dos puntos x, y, y R se convierte en un espacio métrico o espacio de distancias según la distancia ρ, que se registra como (R, ρ). Supongamos que A es un subconjunto de R, entonces A también se convierte en un espacio métrico de acuerdo con la distancia ρ en R, que se denomina subespacio (métrico) de R. Si la condición 1 de la distancia anterior se cambia a ρ (x, y) ≥ 0 y ρ (x, x) = 0, entonces ρ se llama cuasi-distancia en R.
Cuando ρ (x, y) = 0, registra x~y. ~ es una relación de equivalencia en R. El conjunto cociente (es decir, toda la clase de equivalencia) es D=R/~, y se dibuja una función binaria ρ~ en D: ρ~ (x~, y~) = ρ (x , y) (x∈x~, y∈y~), entonces ρ~ es la distancia en D, y (D, ρ~) se llama espacio cociente (métrico) derivado de R según la cuasi-distancia ρ.
Un subconjunto A en el espacio métrico (R, ρ) se llama acotado, si para x0∈R, existe una constante M tal que ρ(x0,x)≤M para todo x en A establecido . Supongamos que x0∈R, r〉0, entonces el conjunto {x|x∈R, ρ(x, x0)〈r} es una pelota de kickball con x0 como centro y r como radio, o la vecindad r de x0, que se registra como O(x0,r). Suponiendo también AR, si para cualquier x∈A, hay una vecindad O(x, r)A de x, entonces A se llama conjunto abierto y el complemento de un conjunto abierto se llama conjunto cerrado; El conjunto cerrado más pequeño de R que contiene un subconjunto A se llama cierre de A.
El espacio métrico fue introducido por Fréchet (M.-R.) en 1906. Es una abstracción básica e importante en las matemáticas modernas y está muy cerca del espacio euclidiano. El espacio es también uno de los fundamentos del funcional. análisis.