¿Hay alguna pregunta sobre el principio del cajón en la Olimpiada de Matemáticas?
Existe un tipo de problema matemático relacionado con la "existencia", como por ejemplo "Al menos dos de las trece personas nacieron en el mismo mes"; debe haber dos estudiantes cuyos cumpleaños sean el mismo día";"Debe haber un grupo de 2003 personas, divididas aleatoriamente en 200 grupos, cada grupo debe tener no menos de 11 personas.";"Si 2003 es Si las personas son arbitrariamente dividido en 200 grupos, debe haber un grupo con no menos de 11 miembros.";"Si ponemos todos los números racionales en [0, 1] en 100 conjuntos, debe haber un conjunto que contenga a [0, 1 ] y contenga todos los números racionales en [0, 1]. Debe haber un conjunto que contenga infinitos números racionales." En este tipo de preguntas existenciales, la palabra "existe" significa "hay al menos uno". Al resolver este tipo de problemas, solo es necesario indicar la existencia, generalmente sin especificar cuál es, y no es necesario determinar el método para encontrar la existencia. Estos problemas implican relativamente pocas operaciones y se basan en una teoría menos compleja que llamamos "principio del cajón".
El "Principio del Cajón" fue utilizado por primera vez para resolver problemas matemáticos por el matemático alemán Dirichlet del siglo XIX, por lo que también se le llama "Principio de Dirichlet", también conocido como "El principio del casillero". Principio del casillero". Este principio se puede describir simplemente como: "Si pones 10 manzanas en cualquiera de los 9 cajones, habrá dos o más manzanas en al menos un cajón". Este principio es muy obvio, se pueden resolver muchos problemas interesantes. Se resuelve aplicándolo, y a menudo se obtienen algunos resultados sorprendentes. El principio del cajón es una parte importante de las competencias de matemáticas nacionales e internacionales, y esta conferencia trata sobre su aprendizaje y sus aplicaciones. forma del principio del cajón
Teorema 1. Si n 1 elementos se dividen en n conjuntos, entonces, sin importar cómo se divida, habrá un conjunto con al menos dos elementos.
Prueba: (Prueba por contradicción) Si no hay un conjunto con al menos dos elementos, entonces cada conjunto tiene como máximo 1 elemento, por lo que n conjuntos tienen como máximo n elementos, lo cual es consistente con que *** tenga n 1 elemento es contradictorio, por lo que la proposición es verdadera.
En la descripción del Teorema 1, puedes cambiar "elemento" por "objeto" y "conjunto" por "cajón". p>
De manera similar, puede cambiar "elemento" a "paloma" y "poner en n conjuntos" a "poner en n jaulas para palomas". Este es el nombre del "principio de jaula para palomas". p>
Ejemplo 1. Se sabe que hay cinco puntos cualesquiera en un triángulo equilátero (incluido el límite) con una longitud de lado 1 (Figura 1. Verificar: La distancia entre al menos dos puntos no es mayor que (1978). Competencia Provincial de Matemáticas de Guangdong)
Análisis. La distribución de estos cinco puntos es arbitraria. Si quieres demostrar que "hay 5 puntos en un triángulo equilátero con una longitud de lado 1 (incluidos los lados), entonces hay. "Debe haber una distancia entre estos 5 puntos que no sea mayor que estos dos puntos". Luego, los tres lados del triángulo están conectados en secuencia, es decir, las tres líneas medias del triángulo. El triángulo equilátero original se puede dividir en 4 pequeños lados equiláteros con longitudes de lados congruentes, entonces 2 de los 5 puntos deben estar en el mismo triángulo equilátero pequeño (incluidos los lados), y la distancia no es mayor que
La conclusión anterior se basa en cualquiera. dos puntos en el triángulo (incluido el límite). La distancia entre puntos está garantizada por el teorema de que la distancia entre puntos no es mayor que la longitud máxima del lado de un triángulo. Probaremos este teorema a continuación. >Como se muestra en la Figura 2, BC es el lado máximo de △ABC, y P y M son △. Para dos puntos cualesquiera en ABC (incluido el límite), conecte PM, dibuje la línea paralela de AB y BC a través de P, y. trazar la recta paralela de AC que pasa por M.
Supongamos que los puntos de intersección de las líneas paralelas son P, Q y N respectivamente, entonces ∠PQN=∠C, ∠QNP=∠A
Debido a que BC≥AB, entonces ∠A≥∠ C, ∠QNP =∠A
Porque BC≥AB, entonces ∠A≥∠A, ∠A≥∠A. Por lo tanto, ∠A≥∠C, entonces ∠QNP≥∠PQN, ∠QMP≥∠QNP≥∠PQN (el ángulo exterior de un triángulo es mayor que el ángulo interior de un triángulo no adyacente), entonces PQ≥PM. Obviamente, BC≥PQ, entonces BC≥PM.
De esto, podemos deducir que la distancia entre dos puntos en un triángulo equilátero con una longitud de lado no es mayor que (incluido el límite).
Explicación:
(1) El "cajón" aquí se construye dividiendo un triángulo. Asimismo, puedes construir cajones usando segmentos de línea y cuadrados bisecados. Por ejemplo, "Tome n 1 números positivos ai que satisfagan 0 < ai ≤ 1 (i = 1, 2,..., n 1). Intente demostrar: debe haber dos números entre estos n 1 números, y el la diferencia es El valor absoluto es menor que ". Otro ejemplo es "Coloque cinco puntos cualesquiera en un cuadrado con una longitud de lado 1 y verifique: debe haber dos puntos y la distancia entre estos dos puntos no es mayor que.
(2) En el ejemplo 1 , si se eliminan las condiciones (incluidos los límites), la conclusión se puede modificar a: hay al menos dos puntos y la distancia entre ellos es menor que ". Pruebe la prueba y compare las diferencias.
(3) Las siguientes conclusiones se pueden demostrar usando el mismo método:
i) Hay n2 1 puntos en un triángulo equilátero con longitud de lado 1, y debe haber n2 1 puntos en él. Hay dos puntos cuya distancia no es mayor que .
ii) Hay n2 1 puntos en un triángulo equilátero con longitud de lado 1. La distancia entre dos de estos n2 1 puntos debe ser menor que .
(4) Reemplace los triángulos equiláteros en las dos proposiciones en (3) con cuadrados, y luego reemplace los triángulos equiláteros correspondientes en la conclusión con proposiciones
2 Cajón El principio.
aún se mantiene.
(5) Los lectores también pueden considerar la pregunta opuesta: en términos generales, "¿Cuántos puntos se necesitan para formar el interior de un triángulo equilátero con una longitud de lado
1 (incluido el límite)? ) ) Hay dos puntos cuya distancia no es mayor que ".
Ejemplo 2. Elige 51 números al azar de los números naturales del 1 al 100 y demuestra que dos de ellos deben ser múltiplos enteros de otro número.
Análisis: Parece imposible empezar con esta pregunta ¿Por dónde empezar? ¿Cuál es la clave? De hecho, entre "dos números", un número es un múltiplo entero del otro número. Necesitamos construir un "cajón" para que de cada cajón se puedan tomar dos números cualesquiera, uno de los cuales sea un múltiplo entero del otro, y se pueda colocar toda la secuencia geométrica en la que sólo la razón común es un entero positivo. El mismo cajón para trabajar aquí, con la ayuda de La clasificación de números naturales proporciona conocimientos básicos: cualquier número entero positivo se puede expresar como el producto de un número impar y la potencia al cuadrado de 2, es decir. Si m ∈ N, entonces m ∈ N, entonces m ∈ N. producto, es decir, si m ∈ N, K ∈ N, n ∈ N, entonces m = (2k-1)-2n, y esta representación es única, tales como 1 = 1 × 2°, 2 = 1 × 21, 3 = 3 × 2°,….
Prueba: dado que cualquier número entero positivo se puede expresar como un número impar multiplicado por la potencia cuadrada de 2, y esta representación es única, podemos usar el único método para dividir los números enteros positivos del 1 al 100 en lo siguiente 50 cajones (porque hay 50 números impares del 1 al 100***):
(1) {1, 1×2, 1×22, 1×23, 1×24, 1× 25 , 1×26};
(2){3, 3×2, 3×22, 3×23, 3×24, 3×25};
(3 ) {5, 5×2, 5×22, 5×23, 5×24}
(4) {7, 7×2, 7×22, 7×23};
(5) {9, 9×2, 9×22, 9×23}
(6) {11, 11×2, 11×22, 11×23}; p>
......
(25) {49, 49×2};
(26)
......
(50) {99}.
De esta forma, los números enteros positivos del 1 al 100 se meten en estos 50 cajones, sin duplicaciones ni omisiones. Seleccione 51 números de estos 100 números, es decir, seleccione 51 números de estos 50 cajones. Según el principio del cajón, al menos dos de los números pertenecen al mismo cajón, es decir, pertenecen al número (1) - (. 25) ). Obviamente, entre los dos números de cualquiera de los 25 cajones, un número es múltiplo entero del otro.
Explicación:
(1) Como se puede ver en la prueba anterior, este problema se puede extender a la situación general: si n números de 1 se seleccionan aleatoriamente de los números naturales 1-2n, entonces debe haber dos números, uno de los cuales es múltiplo entero del otro. Piensa en ¿por qué? Debido a que 1-2n*** contiene 1, 3, ..., 2n-1, que son n números impares, se pueden crear n cajones y n 1 > n. Asignando valores a n se pueden construir diferentes temas. El valor de n en el Ejemplo 2 es 50, y también se puede construir la pregunta opuesta, como "Para garantizar que se puedan encontrar dos números en el número sacado y que el número mayor sea un múltiplo del número menor, entonces el Los primeros 30 números deben ser ¿Cuál es el número más pequeño que se puede sacar de los números naturales (sacado de cualquier forma sin observación)?
(2) Las conclusiones de las dos preguntas siguientes son negativas (n es). un entero positivo). Piénselo, ¿por qué?
(1) Seleccione n 1 números de 2, 3, 4, ..., 2n 1, debe haber dos números, uno de los cuales es un ¿múltiplo entero del otro número?
2) Elija n 1 números de 1, 2, 3,...,2n 1. ¿Habrá dos números, uno de los cuales será un múltiplo entero del otro?
¿Puedes dar un contraejemplo para demostrar que las conclusiones de estas dos preguntas son negativas?
(3) Si se toman n números de 1 de las dos preguntas en cuestión (2) ) cada vez? Los números se incrementan en uno y se reemplazan tomando n números de 2 cada vez, ¿sus conclusiones son positivas o negativas?
Ejemplo 3: Elija 7 al azar de los 25 números naturales anteriores. , demuestra que debe haber dos números en los números tomados que no sean más de 1,5 veces el decimal
Demostración: Divide los primeros 25 números naturales en los siguientes 6 grupos:
. 1; ①
2, 3; ②
4, 5, 6; ③
7, 8, 9, 10; p> 11, 12, 13, 14, 15, 16; ⑤
17, 18, 19, 20, 21, 22.23, ⑥
Porque se selecciona aleatoriamente del primero 25 números naturales 7 números, por lo que al menos dos números se extraen de algunas de las mismas matrices del ② al ⑥ anteriores, y el mayor de los dos números no excede 1,5 veces el número menor.
Análisis:
(1) Esta pregunta se puede describir de otra manera: seleccione aleatoriamente 7 números de los primeros 25 números naturales y demuestre que la razón de dos de ellos está dentro del rango.
Principio de los 3 cajones
Obviamente, necesitamos encontrar una manera de dividir los primeros 25 números naturales en 6 (7-1=6) conjuntos, pero existe una restricción en la clasificación. : cualquier número en el mismo conjunto La proporción de dos números está dentro de la proporción del mismo conjunto, por lo que los valores de los elementos en el mismo conjunto no pueden diferir demasiado. De esta manera, podemos usar el método de clasificación especial como se muestra arriba: Método de clasificación recursivo:
A partir de 1, obviamente 1 solo se puede usar como un conjunto {1} solo; de lo contrario, no se cumplen las condiciones de restricción. .
El único número que puede pertenecer al mismo conjunto que 2 es el 3, por lo que {2, 3} es un conjunto.
Por analogía, los números naturales consecutivos pertenecen al mismo conjunto, y el número natural mayor no supera el múltiplo del número natural más pequeño, por lo que hay seis conjuntos que cumplen las condiciones.
(2) Si construimos "cajones" secuencialmente según el método recursivo en (1), entonces el séptimo cajón es:
{26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39};
El octavo cajón es: {40, 41, 42,..., 60};
El noveno cajón es: {61, 62, 63, ..., 90, 91}
...
Entonces podemos transformar el ejemplo 3 en el siguiente. secuencia p> Toda secuencia conducirá a la misma conclusión: hay 2 números y la proporción entre ellos está dentro de ].
La proposición anterior (4) es una pregunta de prueba del 49º Concurso de Matemáticas celebrado en Kiev, la antigua Unión Soviética. Si cambiamos los valores de los puntos finales del intervalo [] (p>q), podemos construir una serie de nuevas preguntas de prueba.
Ejemplo 4. Dado un conjunto de 10 números enteros positivos mutuamente desiguales con dos decimales. Demuestre: este conjunto debe tener dos subconjuntos sin elementos comunes y la suma de los números en cada subconjunto es igual. (La prueba número 14 del 1M0)
Análisis y solución: Un conjunto**** con 10 elementos, ¿cuántos subconjuntos posibles tiene? Dado que cada elemento tiene dos posibilidades de ser tomado o no tomado al formar un subconjunto, un conjunto con 10 elementos tiene 210 = 1024 formas diferentes de construir un subconjunto, es decir, tiene 1024 formas diferentes de subconjuntos, incluyendo el conjunto vacío y el completo. colocar. El conjunto vacío y el conjunto completo obviamente no se consideran, por lo que nos quedan 1024-2=1022 subconjuntos propios no vacíos.
Mira nuevamente la suma de todos los números en cada subconjunto adecuado. Expresando esta suma con N, podemos ver claramente:
10≤N≤91 92 93 94 95 96 97 98 99=855
Esto demuestra que N tiene como máximo 855-9 = 846 situaciones diferentes. Dado que el número de subconjuntos propios no vacíos es 1022 y 1022 > 846, debe haber dos subconjuntos A y B,
tal que la suma de los números en A = la suma de los números en B .
Si A∩B=φ, la proposición está probada. Si A∩B=C≠φ, es decir: A y B tienen elementos comunes, entonces simplemente elimine todos los elementos comunes en A y B. , se obtienen dos subconjuntos disjuntos A1 y B1. Obviamente
La suma de los elementos en A1 = la suma de los elementos en B1, por lo que A1 y B1 son subconjuntos que cumplen con los requisitos de la pregunta.
Explicación: ¿Se puede generalizar este ejemplo a la siguiente proposición?
Se da un conjunto de m enteros decimales positivos de n dígitos no iguales. Demuestre que este conjunto debe tener dos subconjuntos sin elementos comunes y que la suma de los números en cada subconjunto es igual.
Se pide a los lectores que descubran esto por sí mismos.
Ejemplo 5: Elija cinco puntos enteros cualesquiera en el plano de coordenadas (la abscisa y la ordenada de los puntos son ambos números enteros) y verifique: debe haber dos puntos enteros entre ellos y el punto medio de su unión. Sigue siendo un punto entero.
Análisis y solución: A partir de la fórmula de coordenadas del punto medio se obtienen las coordenadas del punto medio de dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en el plano coordenado. Para convertirlos a ambos en números enteros, la paridad de x1 y x2, y1 e y2 debe y solo puede ser la misma. Para cualquier punto entero en el plano de coordenadas, solo se consideran cuatro puntos en función de la paridad de las coordenadas horizontales y verticales: (impar, impar), (par, par), (impar, par), (par, par), (par, impar) Si se construyen cuatro "cajones" de esta manera, entonces entre cinco puntos enteros en el plano de coordenadas, habrá al menos dos puntos enteros que pertenezcan al mismo "cajón", por lo que el punto medio de la línea recta conectarlos debe ser un punto entero.
Explicación: Podemos generalizar el concepto de puntos enteros: si (x1, x2,...xn) es una matriz ordenada (elementos) n-dimensional, y x1, x2,...xn en Todo número es un número entero, entonces (x1, x2,... Clasificación, ya que cada posición tiene dos posibilidades: par e impar, **** se puede dividir en 2 x 2 x... x 2 = 2n categorías. Este es un método para la clasificación de puntos enteros de n dimensiones. Cuando n = 3, 23 = 8, en este momento, se puede construir la proposición: "Dados nueve puntos enteros cualesquiera en el espacio, demuestre que debe haber dos puntos entre ellos, de modo que el interior del segmento de línea que los conecta contenga un punto entero." Ésta fue la pregunta del Concurso Americano de Matemáticas de Putnam de 1971. En el caso de n=2, también se pueden construir las siguientes proposiciones: "Dados cinco puntos enteros cualesquiera en el plano", entre las cuatro proposiciones "El punto medio del segmento de recta que los conecta es un punto entero", la proposición verdadera es :
Principios de los cuatro cajones
(A) (B) El mínimo es 0 y el máximo es 5 (B) El mínimo es 0 y el máximo es 10
(C ) El mínimo es 1 y el máximo es 5 (D) El mínimo es 1 y el máximo es 10
(Respuesta correcta (D))
Ejemplo 6: En 100 enteros dados, encuentre un número (puede ser un número) cuya suma sea divisible por 100.
Análisis: Este problema parece estar perdido y no hay forma de empezar. ¿Cuál es la clave? Revise las preguntas detenidamente. Si "y" puede ser divisible por "100" debería ser motivo de preocupación. Si organiza 100 números en una secuencia y usa Sm y sus primeros m elementos, puede construir S1, S2,...S100 **** 100 números de "suma". Analice los restos cuando estas sumas se dividen por 100. Tenga en cuenta que hay 100 números en S1, S2,...S100****, y el resto de un número dividido por 100 tiene 100 posibilidades: 0, 1, 2,...99** **. Hay tantas "manzanas" como "cajones", ¿cómo solucionar el problema?
Demostración: Deje que los enteros conocidos a1, a2,...a100 verifiquen la suma de los primeros n elementos de la secuencia a1, a2,...a100 para formar la secuencia S1, S2,.. .S100.
Si hay un número en S1, S2,...S100 que se puede reemplazar por 100, entonces el problema no se puede resolver. Si hay un número en S100 que es divisible por 100, entonces la proposición es verdadera. De lo contrario, es decir, S1, S2, ...S100 no son divisibles por 100, por lo que el resto después de dividirlos por 100 debe ser un elemento en {1, 2, ..., 99}. Según el principio del cajón I, debe haber dos números en S1, S2,...S100 que tengan el mismo resto después de dividir por 100. Debe haber dos números en S100 que tengan el mismo resto después de dividirlos por 100.
Supongamos que estos dos números son Si, Sj (i < j), luego 100∣ (Sj-Si), es decir, 100∣. La proposición está probada.
Nota: A veces es difícil realizar algunas particiones directamente en un objeto determinado para construir el cajón apropiado. En este momento, primero debemos realizar algunas transformaciones en los objetos dados, luego clasificar los objetos transformados y finalmente construir un cajón adecuado. Es difícil resolver este problema clasificando {an} directamente. Sin embargo, después de construir {Sn} a partir de {an}, clasificar {Sn} es mucho más fácil.
Además, al dividir {Sn} con la clase residual del modo 100, solo se puede dividir en 100 conjuntos, y con solo 100 elementos en {Sn}, parece que no se puede aplicar el principio del cajón. . Sin embargo, al observar que la clase de resto 0 es exactamente lo que hace que la conclusión sea verdadera, podemos eliminar la clase de resto 0 mediante una discusión separada, convirtiéndola así en una distribución de los 100 elementos entre las 99 clases restantes. Necesitas aprender este método para afrontar los problemas. Te ayudará a pasar de "un camino lleno de dudas y sin salida" a "un pueblo con flores escondidas y flores brillantes".
Finalmente, la conclusión y prueba de este ejemplo se puede extender al caso general (y tener el efecto de fortalecer la conexión):
En n números enteros dados, uno puede ser encontrado Un número (puede ser un número) cuya suma es divisible por n. Además, en n números enteros dados, en el orden en que están ordenados, puedes encontrar un número de términos consecutivos (que puede ser un término) cuya suma es divisible por n.
Asigne n en la conclusión general anterior al valor del año correspondiente, como 1999, 2000, 2001..., y luego podrá compilar el título para el año correspondiente. Si especificas un trasfondo especial, puedes inventar un problema matemático muy interesante, como sigue:
Hay 100 monos comiendo maní. Cada mono come al menos 1 maní, o tantos como sea posible. pastillas para comer. Demuestre que debe haber un número de monos (puede ser uno) cuyo número total de maní comido sea exactamente múltiplo de 100.
(2) Escuchar truenos en silencio: problema del triángulo monocromático
Hemos visto en los ejemplos anteriores lo maravillosa que es la aplicación del principio del cajón. La clave está en si el cajón. se fabrica adecuadamente, la segmentación de gráficos, el uso de diferentes métodos de clasificación de números naturales, como hacer cajones según la categoría de resto o hacer cajones según números impares multiplicados por la potencia al cuadrado de 2, el uso de la paridad, etc. ., son todos métodos para hacer "cajones". Se puede ver que el principio del cajón es extremadamente simple, pero "escuchar un trueno en un lugar silencioso" y usarlo de manera apropiada y cuidadosa no solo puede resolver los problemas en la competencia nacional de matemáticas, sino también los problemas en el medio internacional. Competencia escolar de matemáticas, como en el difícil problema IM0. En esta sección veremos algunos de estos ejemplos.
Ejemplo 7. (La Sexta Olimpiada Internacional de Matemáticas para estudiantes de secundaria) Entre los 17 científicos, cada dos científicos se comunicaron con otros científicos solo discutieron tres temas durante la comunicación. otro Se discutió un tema, verifique: al menos tres de los científicos discutieron el mismo tema cuando se comunicaban entre sí.
Prueba: Trate a estos 17 científicos como 17 puntos y use una línea entre cada dos puntos para indicar que los dos científicos están discutiendo el mismo tema. Si el primer tema se discute entre los dos puntos correspondientes. representado por líneas rojas, si se discute el segundo tema, los dos puntos correspondientes están representados por líneas amarillas, y si se discute el tercer tema, los dos puntos correspondientes están representados por líneas azules. Tres científicos que estudian el mismo problema equivalen a encontrar un triángulo con tres lados del mismo color.
Considerando que el científico A quiere discutir un problema con cada uno de los otros 16 científicos, correspondientes a los 16 segmentos de línea extraídos de A, teñirlos en 3 colores, y 16 = 3 × 5 1, entonces hay debe ser 6 = 5 1 mismos colores Se puede observar que AB1, AB2, AB3, AB4, AB5, AB6 tienen el mismo color rojo Si Bi (i = 1, 2,..., 6) tiene 6 = 5. 1 del mismo color, entonces AB1, AB2, AB3, AB4, AB5, AB6 tienen el mismo color rojo. ..., 6), entonces hay un segmento de triángulo rojo, y la proposición es verdadera; de lo contrario, los segmentos de línea entre B1, B2, B3, B4, B5 y B6 solo se tiñen de amarillo y azul;
Principio de los 5 cajones
Considere los 5 segmentos de línea dibujados de B1, B1B2, B1B3, B1B4, B1B5, B1B6 teñidos en dos colores, porque 5 = 2 × 2 1, entonces hay deben ser 3=2 1 segmentos de línea del mismo color, suponiendo que sea amarillo, registrados como B1B2, B1B3 y B1B4. En este momento, si hay una línea amarilla entre B2, B3 y B4, entonces hay un triángulo amarillo, y la proposición es verdadera si no hay una línea amarilla entre B2, B3 y B4, entonces △B2, B3; , y B4 debe ser un triángulo azul, la proposición sigue siendo válida.
Explicación: (1) Esta pregunta surge de un problema clásico: entre 6 personas en el mundo, 3 deben conocerse o es posible que no se conozcan. (Pregunta del concurso americano de matemáticas de Putnam).
(2) Utilice rojo para indicar familiaridad y azul para indicar desconocimiento (1) se simplificará en un problema de coloración y se convertirá en un problema de teoría de grafos: 6 puntos en el espacio, 3 puntos cualesquiera no lo son **. **, 4 puntos no son ****, la línea que conecta cada punto es de color rojo o azul. Demostrar: Hay tres puntos y el triángulo que forman tiene tres lados del mismo color.
(3) La pregunta (2) se puede generalizar en dos direcciones: una es el número de tipos de color y la otra es el número de puntos.
Este ejemplo es un progreso en la dirección uno, y la prueba es la anterior. Si continuamos en esta dirección, nos encontraremos con el siguiente problema:
Cada uno de los 66 científicos se corresponde con otros científicos, discutiendo solo cuatro temas en la correspondencia, y dos científicos cualesquiera discuten solo un tema entre ellos. Demuestre que al menos tres científicos discuten el mismo tema entre sí.
(4) Volviendo al proceso de prueba anterior, el problema de coloración de 3 colores de 17 puntos se puede simplificar al problema de coloración de 2 colores de 6 puntos y al problema de coloración de 2 colores de 6 puntos. El problema se puede simplificar a la pregunta de 1 color para colorear de 3 puntos. A su vez, podemos seguir generalizando. Del proceso anterior de (3, 1) → (6, 2) → (17, 3), podemos averiguar fácilmente
6 = (3-1) × 2 2, 17 = (6 - 1) × 3 2, 66 = (17-1) × 4 2,
De manera similar, podemos obtener (66-1) × 5 2 = 327, (327-1) × 6 2 = 1958. .Escrito como r1=3, r2=6, r3=17, r4=66, r5=327, r6=1958, .....
Podemos obtener la relación de recurrencia: rn=n ( rn-1-1) 2, n=2, 3, 4.... De esta manera, podemos construir el problema de teñido de 327 puntos con 5 colores y el problema de teñido de 1958 puntos con 6 colores. Ambos problemas deben ser. del mismo color. Aparece en forma de triángulo.
(iii) Otras formas del principio del cajón.
En la demostración del Ejemplo 7, en realidad utilizamos otra forma del principio del cajón, que tratamos como Teorema 2.
Teorema 2: Divide m elementos en n conjuntos (m > n)
(1) Cuando n puede dividir m, al menos un conjunto contiene al menos [] 1 elemento;
(2) Cuando n no puede dividir m, entonces al menos un conjunto contiene al menos [] 1 elemento, ([] representa el entero más grande que no excede)
Teorema 2 A veces puede debe expresarse de la siguiente manera: Si m x n 1 elementos se colocan en n conjuntos, entonces debe haber un conjunto que contenga al menos m 1 elementos.
Ejemplo 8. Colocar arbitrariamente 9 puntos en un cuadrado con una longitud de lado de 1. Verificar: hay 3 puntos, y el área de un triángulo con estos 3 puntos como vértices no excede (Beijing 1963 Preguntas del concurso de matemáticas).
Análisis y solución: Como se muestra en la Figura 3, divida un cuadrado en cuatro partes iguales para obtener cuatro rectángulos A1, A2, A3 y A4. Si coloca 9 puntos arbitrariamente en el cuadrado, habrá al menos un []1=3 o más puntos en el rectángulo Ai. Sean los tres puntos A, B y C. Específicamente, mire Ai (como se muestra en Figura 4). Después de A, B y C, dibuje líneas paralelas a los lados largos del rectángulo respectivamente, y las líneas paralelas que pasan por el punto A se cruzan con BC en el punto A'. La distancia desde el punto A hasta el lado largo del rectángulo. h = (0≤h≤), entonces △ABC El área es
S△ABC= S△AA'C S△AA'B
≤×1×h×1×(-h )
= × =
p>
Análisis: Elija A: Divida el cuadrado en cuatro áreas y podrá sacar la conclusión de que "al menos un área tiene tres puntos ". Este es el valor para determinar el área del triángulo. Esto sienta las bases para determinar el valor del área del triángulo. La forma de construir el problema "cajón" no es única. También puedes dividir el cuadrado en cuatro cuadrados pequeños con longitudes de lados. Pero no es factible dividir el cuadrado en cuatro pequeños triángulos iguales (¿piensas por qué?), por lo que el "cajón" debe construirse apropiadamente. Por lo tanto, construir adecuadamente el "cajón" es la clave para aplicar el principio del cajón para resolver problemas.
Figura 5
Los siguientes dos problemas pueden considerarse extensiones triviales de este ejemplo:
(1) En un cuadrado con longitud de lado 2, aleatoriamente Hay son 9 puntos Verificar: Debe haber 3 puntos cuyos vértices no excedan el área del triángulo.
(2) Dados 13 puntos arbitrariamente en un cuadrado de lado 1, verificar: debe haber 4 puntos, y el área del cuadrilátero con ellos como vértices no excede 1/4.
Ejemplo 9: 9 rectas dividen un cuadrado en dos trapecios, y la razón de sus áreas es 2:3. Demuestre: Al menos 3 de las 9 rectas pasan por el mismo punto.
Demostración: Sea el cuadrado ABCD, y E y F sean los puntos medios de AB y CD respectivamente.
Principio de los 6 cajones
Supongamos que la línea recta L divide el cuadrado ABCD en dos trapecios ABGH y CDHG, y corta a EF en P (como se muestra en la Figura 6). 6)
El área del trapezoide ABGH: el área del trapezoide CDHG = 2:3
EP es la línea mediana del trapezoide ABGH, PF es la línea mediana de trapezoide CDHG, porque
p>
Área del trapezoide = línea mediana p>=EP:PF, es decir, EP:PF=2:3
Esto muestra que la recta La línea L pasa por un punto fijo P en EF, que divide a EF en dos partes con una longitud de 2:3. Hay otro punto similar en EF, el punto Q en la figura (FQ:QE=2:3).
De manera similar, si la recta L corta a AB y CD y divide el cuadrado en dos trapecios con una proporción de 2:3, entonces esta recta debe pasar por dos de las rectas que conectan los puntos medios de AD. y BC. Puntos de similitud (puntos de trisección).
De esta forma, existen 4 puntos fijos en el cuadrado, y cualquier recta que divida el área del cuadrado en dos trapecios con una relación de áreas de 2:3 debe pasar por uno de estos 4 agujas. Pensamos en estos 4 puntos como 4 cajones y 9 líneas rectas como 9 manzanas. Según el Teorema 2,
9=4×2 1,
Entonces debe haber al menos 3 manzanas en un cajón, es decir, debe haber tres líneas rectas que pasen por un punto.
Nota: El cajón en este ejemplo está relativamente oculto. Se descubre que los cuatro puntos de trisección en la línea que conecta los puntos medios de los dos lados opuestos del cuadrado son la clave. para el área del trapezoide: S Trapezoide = Valor × Dominio de la altura trapezoidal.
Ejemplo 10.910 botellas de tinta roja y tinta azul están dispuestas en 130 filas, con 7 botellas en cada fila. Prueba:
1. Hay al menos tres líneas que son iguales;
2 Hay al menos dos grupos (cuatro líneas), cada grupo tiene dos líneas que son las. mismo. (Preguntas de repaso del Concurso de Matemáticas de Escuelas Secundarias de Beijing de 1990)