Gráficos y propiedades de funciones cúbicas

La función cúbica () f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0) aparece con frecuencia después de aprender derivadas en la escuela secundaria. También es un componente importante de otras funciones complejas. es necesario comprender su naturaleza.

Propiedad - Monotonicidad Figura 1 Utilice el discriminante para determinar la imagen de la función. Tome a>0 como ejemplo, como se muestra en la Figura 1. Tenga en cuenta Δ=b2_3ac como el discriminante de la imagen de la función cúbica, luego cuando. Δ_0, f (x) es una función que aumenta monótonamente en R; cuando Δ>0, f (x) disminuirá monótonamente en la sección media, formando tres intervalos monótonos y dos valores extremos.

Propiedad dos simetrías. La simetría de la imagen en la Figura 2. Como se muestra en la Figura 2, la imagen de f(x) es simétrica con respecto al punto P(_b3a, f(_b3a)) (en particular, los puntos extremos y los puntos de la imagen correspondientes a los puntos extremos también son simétricos con respecto a P) Por el contrario, si el centro de simetría de la función cúbica es (m, n), su fórmula analítica se puede establecer como f(x)=α_(x_m)3+β_(x_m )+n, donde α≠0.

Propiedad 3: Propiedades de la línea de corte, Figura 3: Propiedades de la línea de corte. Como se muestra en la Figura 3, supongamos que P es cualquier punto en f(x) (el centro de asimetría), y dibuje una recta secante AB y una recta tangente PT de la gráfica de la función f(x) a través de P (el punto P no es un punto tangente), A, B y T están ambos en la imagen de f(x), entonces la abscisa del punto T biseca la abscisa de los puntos A y B. Figura 4 Corolario de la propiedad de la línea de corte 1 Corolario 1 Supongamos que P es cualquier punto en f(x) (centro asimétrico), dibuje dos rectas tangentes PM y PN de la gráfica de la función f(x) a través de P, los puntos tangentes son M y P respectivamente, como se muestra en la figura. Luego, la abscisa del punto M biseca la abscisa de los puntos P y N, como se muestra en la Figura 4.

Figura 5 Propiedades de las líneas de corte

Corolario 2, Corolario 2 Sea M el valor máximo de f(x), y las dos raíces de la ecuación f(x)=M son x1 y x2 (x1 ① Traza rectas tangentes a y = f (x) por los puntos de las áreas I y III, y solo hay tres;

② Traza y = f (por los puntos de las áreas II y IV y el centro de simetría) Sólo hay una recta tangente de Sólo hay dos