Versión Qingrenjiu de radicales cuadráticos, ecuaciones cuadráticas de una variable, planes de lecciones de rotación
Ecuación cuadrática... Definición
En una ecuación, una ecuación integral que contiene solo un número desconocido y el grado más alto de la incógnita es 2 se llama ecuación cuadrática.
La ecuación cuadrática tiene tres características: (1) contiene solo un número desconocido; (2) el grado más alto del número desconocido es 2; Para determinar si una ecuación es una ecuación cuadrática, primero verifica si es una ecuación integral y, de ser así, resuélvela. Si se puede organizar en la forma ax^2+bx+c=0(a≠0), entonces esta ecuación es una ecuación cuadrática de una variable. Métodos generales de solución
1. Método de combinación (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable)
2. Método de fórmula (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable)
3. Método de factorización (puede resolver algunas ecuaciones cuadráticas)
4. Método de extracción (puede resolver algunas ecuaciones cuadráticas) El método para resolver ecuaciones cuadráticas realmente no es bueno (compras un Casio fx -500 o 991 calculadoras pueden resolver ecuaciones, pero en forma general)
1. Puntos de conocimiento:
Las ecuaciones cuadráticas de una variable y las ecuaciones lineales de una variable son ambas ecuaciones integrales. El contenido de las matemáticas de la escuela secundaria y la base para el aprendizaje de matemáticas en el futuro deberían atraer la atención de los estudiantes.
La forma general de una ecuación cuadrática es: ax2+bx+c=0, (a≠0), que contiene solo una incógnita, y el grado más alto de la incógnita es 2
La ecuación integral de .
La idea básica de resolver una ecuación cuadrática de una variable es transformarla en dos ecuaciones lineales de una variable "reduciendo el grado". Hay cuatro soluciones a las ecuaciones cuadráticas
: 1. Método de raíz cuadrada directa; 2. Método de combinación 3. Método de fórmula 4. Método de factorización;
2. Explicación detallada de métodos y ejemplos:
1. Método de raíz cuadrada directa:
El método de raíz cuadrada directa es un método para resolver cuadráticas ecuaciones de una variable usando raíz cuadrada directa. Utilice el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación de la forma (x-m)2=n (n≥0)
y la solución es x=m±
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación (1) (3x+1)2=7 (2) 9x2-24x+16=11
Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente fácil de resolver usando el método de raíz cuadrada directa (. 2) El lado izquierdo de la ecuación es una forma cuadrada perfecta (3x-4)2, y el lado derecho = 11>0, por lo que
Esta ecuación también se puede resolver mediante el método de raíz cuadrada directa. .
(1) Solución: (3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=± (Tenga cuidado de no perder la solución)
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1=,x2=
(2) Solución : 9x2-24x+ 16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴ La solución de la ecuación original es x1=,x2=
2. Método de combinación: use el método de combinación para resolver la ecuación ax2+bx+c=0 (a≠0)
Primero mueva la constante c al lado derecho de la ecuación: ax2+bx=-c
El coeficiente del término cuadrático se reduce a 1: x2+x=-
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación: x2+x+ ( )2=- +( )2
El lado izquierdo de la ecuación se convierte en un cuadrado perfecto: (x+ )2=
Cuando b2-4ac≥0, x+ =±
∴x= (esta es la fórmula raíz)
Ejemplo 2. Usa el método compuesto para resolver la ecuación 3x2-4x-2=0
Solución: Mover el término constante al lado derecho de la ecuación 3x2-4x=2
Cambiar el coeficiente del término cuadrático a 1: x2 -x=
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente lineal a ambos lados de la ecuación: x2-x+( )2= +( )2
Fórmula: (x-)2= p>
Raíz cuadrada directa: x-=±
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1 =,x2= .
3. Método de fórmula: transforma la ecuación cuadrática a una forma general y luego calcula el valor del discriminante △=b^2-4ac Cuando b^2-4ac≥0, coloca los coeficientes a, b de cada término
., el valor de c se sustituye en la fórmula de búsqueda de raíces x=(b^2-4ac≥0) para obtener la raíz de la ecuación.
Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x2-8x=-5
Solución: Convierte la ecuación a la forma general: 2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8 , c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
p>∴La solución de la ecuación original es x1=,x2=
4. Método de factorización: transforma la ecuación para que un lado sea cero, descompone el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales, deja que los dos factores lineales sean iguales a cero respectivamente, dos ecuaciones lineales de una variable se obtienen Las raíces obtenidas al resolver estas dos ecuaciones lineales de una variable son las dos raíces de la ecuación original.
Este método de resolver ecuaciones cuadráticas se llama factorización.
Ejemplo 4. Usa la factorización para resolver las siguientes ecuaciones:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2 +5x-50=0 (opcional) (4)x2-2( + )x+4=0 (opcional)
(1) Solución: (x+3)(x-6 )=- 8 Simplifica y obtén
x2-3x-10=0 (el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero)
(x-5)(x +2)=0 (factorización en el lado izquierdo de la ecuación)
∴x-5=0 o x+2=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1= 5,x2=-2 es la solución de la ecuación original.
(2) Solución: 2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (Usa el método del factor común para factorizar el lado izquierdo de la ecuación)
∴x=0 o 2x+3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.
Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución x=0 al hacer este tipo de preguntas. Debes recordar que hay dos soluciones a la ecuación cuadrática.
(3) Solución: 6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (Presta especial atención al signo al factorizar por multiplicación cruzada No te equivoques)
∴2x-5=0 o 3x+10=0
∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.
(4) Solución: x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2·2, ∴Esta pregunta se puede factorizar)
( x -2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2 es la solución de la ecuación original.
Resumen:
Generalmente, el método más utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable es el método de factorización. Al aplicar el método de factorización, primero se debe escribir la ecuación en general<. /p>
p>
, y el coeficiente del término cuadrático debe convertirse en un número positivo.
El método de apertura directa es el método más básico.
El método de fórmula y el método de combinación son los métodos más importantes. El método de fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se utiliza el método de fórmula, la ecuación original debe transformarse a una forma general para poder determinar la ecuación. coeficientes, y la fórmula debe usarse antes Primero calcule el valor del discriminante para determinar si la ecuación
tiene solución.
El método de combinación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, puede usar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable, por lo que generalmente no es necesario usar el método de combinación <. /p>
para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Sin embargo, el método de coincidencia se usa ampliamente para aprender otros conocimientos matemáticos. Es uno de los tres métodos matemáticos importantes que se deben dominar en las escuelas secundarias.
Debe dominarse bien. (Tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de combinación y método de coeficiente indeterminado).
Ejemplo 5. Resuelva las siguientes ecuaciones usando los métodos apropiados. (Opcional)
(1) 4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2) x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4) 4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
Análisis: (1) Primero, debes observar si la pregunta tiene alguna característica, ¿no? No ciegamente Haz operaciones de multiplicación. Después de la observación, encontramos que el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar usando la fórmula de diferencia cuadrada
y convertirlo en el producto de dos factores lineales.
(2) El método de multiplicación cruzada se puede utilizar para factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
(3) Después de convertirlo a una forma general, use el método de fórmula para resolverlo.
(4) Transforme la ecuación en 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0, y luego use el método de multiplicación cruzada para factorizar.
(1) Solución: 4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3) ][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0 O -x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2) Solución: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0 o x-1=0
∴x1=-3, x2=1
(3) Solución: x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (primero convertir a forma general)
△= ( -2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4) Solución : 4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[ 2x -(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0 o 2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
Ejemplo 6. Encuentra las dos raíces de la ecuación 3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0. (Opcional)
Análisis: Será más engorroso hacer la exponenciación, multiplicación y fusión de términos similares en una forma general antes de hacer esta ecuación. Observe la pregunta con atención,
> Se encuentra que si x+1 y x-4 se consideran como un todo, el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar mediante el método de multiplicación cruzada (en realidad, se utiliza el método de sustitución)
Solución: [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
Eso es (5x-5)(2x- 3 )=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0 o 2x-3=0
∴x1=1,x2= es la solución de la ecuación original.
Ejemplo 7. Utilice el método de combinación para resolver la ecuación cuadrática x2+px+q=0 sobre x
Solución: x2+px+q=0 se puede transformar en
x2+px=- q (El término constante se mueve al lado derecho de la ecuación)
x2+px+( )2=-q+()2 (El cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal se suma a ambos lados de la ecuación)
(x+) 2= (fórmula)
Cuando p2-4q≥0, ≥0 (p2-4q debe clasificarse y discutirse)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
Cuando p2-4q<0, <0, la ecuación original no tiene raíces reales.
Nota: Esta pregunta es una ecuación que contiene coeficientes de letras. No hay condiciones adicionales para p y q en la pregunta. Por lo tanto, durante el proceso de resolución del problema, siempre debes prestar atención a los requisitos. los valores de las letras
Realizar discusiones clasificadas cuando sea necesario.
Ejercicios:
(1) Utilice métodos adecuados para resolver las siguientes ecuaciones:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5 ) (x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+ 3 )2+5(2x+3)-6=0
(2) Resuelve las siguientes ecuaciones sobre x
1.x2-ax+-b2=0 2. x2- ( + )ax+ a2=0
Respuestas de referencia de práctica:
(1) 1.x1=-,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6. Solución: (Considere 2x+3 como un todo, factorice el lado izquierdo de la ecuación )
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
Es decir (2x+9)(2x+2)=0
p>∴2x+9=0 o 2x+2=0
∴x1=-,x2=-1 es la solución de la ecuación original.
(2) 1. Solución: x2-ax+( +b)( -b)=0 2. Solución: x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( - b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0 o x-( -b) =0 x- a=0 o x-a=0
∴x1= +b, x2= -b es ∴x1= a, x2=a es
la solución de la ecuación original. solución de la ecuación original.
Test (las respuestas se encuentran a continuación)
Preguntas de opción múltiple
1. La raíz de la ecuación x(x-5)=5(x-5) es ( )
A. x=5 B. x=-5 C. x1=x2=5 D. x1= x2= -5
2. El valor del polinomio a2+4a-10 es igual a 11, entonces el valor de a es ( ).
A, 3 o 7 B, -3 o 7 C, 3 o -7 D, -3 o -7
3. Si la suma del coeficiente del término cuadrático, el coeficiente del término lineal y el término constante en la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 es igual a cero, entonces la ecuación debe tener una raíz
().
A, 0 B, 1 C, -1 D, ±1
4. La condición de que la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 tenga una raíz cero es ( ).
A, b≠0 y c=0 B, b=0 y c≠0
C, b=0 y c=0 D, c=0
5. Las dos raíces de la ecuación x2-3x=10 son ( ).
A, -2, 5 B, 2, -5 C, 2, 5 D, -2, -5
6. La solución de la ecuación x2-3x+3=0 es ( ).
A, B, C, D, sin raíz real
7. La solución a la ecuación 2x2-0.15=0 es ( ).
A. x= B. x=-
C. x1=0.27, x2=-0.27 D. x1=, x2=-
8. Después de organizar el lado izquierdo de la ecuación x2-x-4=0 en un cuadrado perfecto, la ecuación resultante es ( ).
A. (x-)2= B. (x- )2=-
C. (x- )2= D. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta p>
9. Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable x2-2x-m = 0, y la ecuación después de resolverla usando el método de fórmula es ().
A. (x-1)2=m2+1 B. (x-1)2=m-1 C. (x-1)2=1-m D. (x-1) 2=m+1
Respuestas y análisis
Respuesta: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9. D
Análisis:
1. Análisis: Cambie los términos para obtener: (x-5)2=0, luego x1=x2=5,
Nota: No divida fácilmente ambos lados de la ecuación por un número entero. La ecuación cuadrática tiene raíces reales, por lo que debe ser dos.
2. Análisis: Según la pregunta: a2+4a-10=11, la solución es a=3 o a=-7
3. Análisis: Según el significado de la pregunta: hay a+b+c=0, el lado izquierdo de la ecuación es a+b+c, y cuando x=1, ax2+bx+c=a+b+c significa que cuando x =1
Cuando se establece la ecuación, debe haber una raíz de x=1.
4. Análisis: Si una raíz de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 es cero,
entonces ax2+bx+c debe tener un factor x, y existe solo cuando c=0 El factor común es x, entonces c=0
Además, también puedes sustituir x=0 para obtener c=0, ¡lo cual es más simple!
5. Análisis: la ecuación original se convierte en x2-3x-10=0,
Entonces (x-5)(x+2)=0
x-5=0 o x+2 =0
x1=5, x2=-2
6. Análisis: Δ=9-4×3=-3<0, entonces la ecuación original no tiene raíces reales.
7. Análisis: 2x2=0.15
x2=
x=±
Presta atención a la simplificación de la expresión radical, y ten cuidado de no perder la raíz cuando sacando la raíz cuadrada directamente.
8. Análisis: multiplique ambos lados por 3 para obtener: x2-3x-12=0, y luego de acuerdo con la fórmula del coeficiente del término lineal, x2-3x+(-)2=12+(-)2,
Organícese como: (x -)2=
La ecuación se puede deformar usando la propiedad de igualdad, y cuando se formula x2-bx, el término de la fórmula es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal -b.
9. Análisis: x2-2x=m, luego x2-2x+1=m+1
Luego (x-1)2=m+1
Análisis del examen de ingreso a la escuela secundaria <. /p>
Evaluación de las preguntas del test
1. (Provincia de Gansu) La raíz de la ecuación es ( )
(A) (B) (C) o (D) o
Comentario: Debido a que la ecuación cuadrática tiene dos raíces, Así que utilice el método de eliminación para eliminar las opciones A y B, y luego utilice el método de verificación para seleccionar la opción correcta entre las opciones C y D.
También puedes usar el método de factorización para resolver esta ecuación y obtener el resultado. También puedes verificar las opciones. Las opciones A y B solo consideran un aspecto y se olvidan de una variable
La ecuación cuadrática tiene dos raíces, por lo que es incorrecta. En la opción D, x=-1 no forma los lados izquierdo y derecho de la. ecuación es igual, por lo que también es incorrecta. La opción correcta es
C.
Además, los estudiantes suelen dividir ambos lados de la ecuación por un número entero al mismo tiempo, lo que hace que la ecuación pierda raíces. Este error debe evitarse.
2. (Provincia de Jilin) La raíz de una ecuación cuadrática de una variable es __________.
Comentario: La idea es utilizar el método de factorización o el método de fórmulas para resolverla según las características de la ecuación.
3. (Provincia de Liaoning) La raíz de la ecuación es ( )
(A) 0 (B) –1 (C) 0, –1 (D) 0, 1
Comentarios: Idea: Debido a que la ecuación es una ecuación cuadrática, tiene dos raíces reales Usando el método de eliminación y el método de verificación, la opción correcta se puede seleccionar como C, mientras que las dos opciones A y
B tienen solo una. raíz. Opción D Un número no es la raíz de una ecuación. Alternativamente, puedes usar el método de encontrar directamente las raíces de la ecuación.
4. (Provincia de Henan) Se sabe que una raíz de la ecuación cuadrática de x es –2, entonces k=__________.
Comentario: k=4. Sustituyendo x=-2 en la ecuación original, construye una ecuación cuadrática sobre k y luego resuélvela.
5. (Ciudad de Xi'an) Usando el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación (x-3)2=8, la raíz de la ecuación es ( )
(A) x=3+2 (B ) x=3-2 p>
(C) x1=3+2, x2=3-2 (D) x1=3+2, x2=3-2
Comentario: Usa el método de resolución de ecuaciones para resolver directamente. Sí, o no necesitas calcular. Si hay una solución para la ecuación cuadrática de una variable, entonces debe haber dos soluciones y la raíz cuadrada de 8.
y podrás elegir la respuesta.
Desarrollo extracurricular
Ecuación cuadrática de una variable
Una ecuación cuadrática de una variable se refiere a una ecuación que contiene un número desconocido y el término de mayor grado de la el número desconocido son ecuaciones integrales de grado 2
. La forma general es
ax2+bx+c=0, (a≠0)
Alrededor del año 2000 a.C., las ecuaciones cuadráticas y sus soluciones habían aparecido entre los antiguos babilonios en la tablilla de arcilla. documento de , x+ =b,
x2-bx+1=0,
Hacen ( )2; luego lo hacen y luego obtienen la solución: + y -. Se puede observar que los babilonios ya conocían la fórmula raíz de la ecuación cuadrática. Pero en ese momento no aceptaron números negativos, por lo que se omitieron las raíces negativas.
Las ecuaciones cuadráticas más simples también aparecen en documentos en papiro egipcio, como por ejemplo: ax2=b.
En los siglos IV y V a.C., nuestro país dominaba la fórmula para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas de una variable.
El griego Diofanto (246-330) solo tomó una raíz positiva de la ecuación cuadrática. Incluso si encontró dos raíces positivas, solo tomó una de ellas.
una.
En el año 628 d.C., a partir del "Sistema de Corrección Brahma" escrito por Brahmagupta de la India, se obtuvo una fórmula raíz para la ecuación cuadrática x2+px+q=0
Modo.
En Arabia Al. "Álgebra" de Al-Khwarizmi analiza la solución de ecuaciones y resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas, que involucran seis formas diferentes. Sean a, byc números positivos, como ax2=bx, ax2=c, ax2+c=. bx, ax2+bx=c, ax2=bx+c,etc. Divide la ecuación cuadrática en
diferentes formas para su discusión, siguiendo el enfoque de Diofanto. Alabama. Además de dar varias soluciones especiales a ecuaciones cuadráticas, Al-Khwarizmi también dio por primera vez una solución general a ecuaciones cuadráticas, admitiendo que la ecuación tiene dos raíces y que hay raíces irracionales. Pero no se comprenden las raíces virtuales. Los matemáticos de la Italia del siglo XVI comenzaron a utilizar raíces complejas para resolver ecuaciones cúbicas.
Veda (1540-1603), además de saber que las ecuaciones de una variable siempre tienen soluciones en el rango de los números complejos, también dio la relación entre raíces y coeficientes.
Los "Nueve capítulos sobre aritmética" de mi país. El problema 20 del capítulo "pitagórico" se resuelve encontrando la raíz positiva equivalente a x2+34x-71000=0. Los matemáticos chinos también utilizaron métodos de interpolación en el estudio de ecuaciones.
[Editar este párrafo] Método de juicio
Fórmula de juicio de la ecuación cuadrática:
b^2-4ac>0 La ecuación tiene dos raíces reales desiguales.
b^2-4ac=0 La ecuación tiene dos raíces reales iguales.
b^2-4ac<0 La ecuación no tiene raíces reales.
Lo anterior se puede empujar de izquierda a derecha y, a la inversa, la izquierda también se puede empujar de derecha.
[Editar este párrafo] Enumere los pasos para resolver una ecuación cuadrática de una variable
(1) Analice el significado del problema y encuentre la igualdad entre las incógnitas del problema y las condiciones dadas en el problema;
(2) Suponga las incógnitas y use la expresión algebraica de las incógnitas para expresar las incógnitas restantes
(3) Encuentre la relación de igualdad y use; para enumerar las ecuaciones
(4) Resuelve la ecuación para encontrar el valor de la incógnita en la pregunta
(5) Comprueba si la respuesta que buscas es consistente; con el significado de la pregunta y respóndela.
[Editar este párrafo] Conferencias sobre ejemplos clásicos
1. Para preguntas sobre la definición de una ecuación cuadrática de una variable, debemos considerar completamente las tres características de la definición y no ignorar que el coeficiente del término cuadrático no es 0.
2. Al resolver una ecuación cuadrática de una variable, elija con flexibilidad el método de solución de acuerdo con las características de la ecuación. Primero considere si se pueden usar el método de raíz cuadrada directa y el método de factorización, y luego considere el método de fórmula.
3. El discriminante de las raíces de la ecuación cuadrática (a≠0) es verdadero tanto en dirección positiva como negativa. Se puede utilizar para (1) determinar las raíces de una ecuación sin resolver la ecuación (2) determinar el rango de las raíces en función de las propiedades de los coeficientes de los parámetros (3) resolver problemas de prueba relacionados con las raíces;
4. Hay muchas aplicaciones para las raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas: (1) Se conoce una raíz de la ecuación y la otra raíz y los coeficientes de los parámetros se pueden encontrar sin resolver la ecuación (2) Se conoce la ecuación y el valor; de la expresión algebraica que contiene dos raíces simétricas. Coeficientes desconocidos relevantes (3) Dadas dos raíces de la ecuación, encuentre una ecuación cuadrática de una variable con las dos raíces de la ecuación o su fórmula algebraica como raíces.