¿Qué significan las rectas y los planos paralelos? ¿Cómo demostrar el paralelismo de una recta y un plano?
Rectas y planos paralelos → Rectas paralelas y rectas: Si una recta es paralela a un plano, y el plano que pasa por la recta corta al plano, entonces la recta es paralela a la recta de intersección .
Rectas y planos paralelos → Planos paralelos: Si dos rectas que se cruzan en un plano son paralelas a otro plano, entonces los dos planos son paralelos.
Paralelo cara a cara → Paralelo línea a línea:
Si dos planos paralelos intersecan a un tercer plano al mismo tiempo, sus líneas de intersección son paralelas.
Perpendicular → Vertical: Si una recta es perpendicular a dos rectas que se cruzan en un plano, entonces la recta es perpendicular al plano.
Línea-plano perpendicular → línea-línea paralela: Si dos rectas son perpendiculares a un plano al mismo tiempo, entonces las dos rectas son paralelas.
Perpendicular línea-plano→Perpendicular plano-plano: Si un plano pasa por una recta vertical de otro plano, entonces los dos planos son perpendiculares entre sí.
Datos ampliados:
Si las perpendiculares de dos planos son paralelas, entonces los dos planos son paralelos. (Se puede entender que los planos con vectores normales paralelos son paralelos)
De acuerdo con la propiedad de que las rectas son perpendiculares a los planos, aplicando el Teorema 1 se demuestra que dos rectas paralelas son perpendiculares a ambos planos.
El teorema 1 y su corolario son la base del método vectorial para demostrar el paralelismo plano. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos o iguales.
Dos planos son paralelos, y una recta perpendicular a un plano debe ser perpendicular al otro plano. (Teorema inverso del teorema de determinación 1)
Conocido: α∑β, l⊥α Verificación: l⊥β
Demostración: Primero demuestre que l y β tienen una intersección. Si l∧β
∵l⊥α
∴ α⊥ β (juicio del plano vertical) contradice α∧β, entonces l y β deben cruzarse.
Supongamos l∩α=A, l∩β=b.
En α, cualquier recta A pasa por A, entonces A ∩ L = A.
Entonces a y l definen un plano. Es obvio que dado que L corta a β, entonces el plano definido por A y L también corta a β.
Supongamos que el punto de intersección con β es B. Del Teorema 2, podemos saber que a∨B.
∵l⊥α,a? α
∴l⊥a
∴l⊥b
Entonces por a, traza una recta c en α que no coincida con a, pasando por l y el plano de c interseca a β en d, entonces l⊥d se puede demostrar de la misma manera.
Obviamente, B y D se cruzan. Esto se debe a que si se supone b∨d, A∨C se puede deducir de A∨b y C∨d, pero tanto A como C se hacen a través del punto A, lo que crea una contradicción.
∵l y β son perpendiculares entre sí.
∴l⊥β
Por un punto fuera del plano, pasa y hay sólo un plano paralelo al plano conocido.
Se sabe que p es un punto exterior al plano α.
Demuestra: Sólo hay un plano β∨α en p.
Prueba:
Demostrar primero la existencia. Dibuje dos líneas rectas cualesquiera que se crucen A y B en α, y dibuje A'∨A y B'∨B respectivamente después de pasar P, luego A' y B' determinan un plano β. A partir del teorema de decisión 3, podemos conocer βΣα.
Demostrando de nuevo la unicidad. Supongamos que hay dos planos β1 y β2 paralelos a α, entonces p es l⊥α Según el teorema de propiedad 3, l⊥β1 y l⊥β2.
Según el teorema de determinación 1, β1∧β2, lo cual es consistente con Es contradictorio que β1 y β2 pasen por el punto P al mismo tiempo.
Dos o más casos resultan ser similares, por lo que solo hay un plano β∑α en p.
Materiales de referencia:
Enciclopedia Baidu-Paralelo cara a cara