Amigos, estoy haciendo un problema de matemáticas, ¿pueden ayudarme? Gracias.
Tabla 1: Datos relevantes de latas (envases de aluminio)
Variedad Alto (cm) Radio del fondo (cm) Volumen (cm3)
Cerveza Shuanglu 11,9 3,15 350
Jugo de coco 13,2 2,65 250
Leche Wangzai 8,5 3,2 245
Bebida Lulu 16,8 3,2 500
Jianlibao 10,2 3,25 330
Proceso de cálculo y modelado matemático del costo de fabricación de latas
Suponiendo que los materiales utilizados para las superficies inferiores y laterales superiores e inferiores de las latas son los mismos, entonces bajo el mismo volumen, independientemente de la bebida que se utilice. la menor cantidad de materiales tendrá menor costo y es la más razonable
① El área de superficie de la lata (Cerveza Shuanglu) es S=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8 (cm2). )
El material de embalaje necesario para cada centímetro cúbico de cerveza es 297,8/350=0,85 (cm2)
② El área de superficie de la lata (jugo de coco) S=2π ×2,65×13,2+2π×2,652 ≈264 (cm2)
El material de embalaje necesario para cada centímetro cúbico de jugo de coco es 264/250=1,06 (cm2)
③ La superficie el área de la lata (leche Wangzai) es S=2π× 3,2×8,5+2π×3,22≈235 (cm2)
El material de embalaje necesario para cada centímetro cúbico de leche Wangzai es 235/245= 0,96 (cm2)
④Superficie de lata (bebida Lulu) S=2π×3,2×16,8+2π×3,22≈402 (cm2)
El material de embalaje necesario para cada centímetro cúbico de La bebida Lulu es 402/500=0,804 (cm2)
⑤El área de superficie de la lata (Jianlibao) es S=2π×3,25×10,2+2π×3,252=274 (cm2)
El material de embalaje requerido para cada centímetro cúbico de bebida Jianlibao es 274/330=0,83 (cm2)
A partir de los resultados del cálculo de las cinco bebidas anteriores, se puede ver que bajo el mismo volumen, La bebida Lulu utiliza menos materiales que otras bebidas, lo que significa que ahorra recursos.
Entonces, desde la perspectiva del ahorro de recursos, ¿qué tipo de diseño es el más razonable?
Supongamos que la altura de la lata es h y el radio del círculo inferior es r. Según la fórmula del volumen del cilindro V=
πr2?h, obtenemos h=. V/πr2, y el área de superficie de la lata es S. =2πr2 +2πr h, entonces S=2πr2 +2V/r
Según los requisitos de diseño, el volumen V es una constante, el radio r es una variable y el área de la superficie S es una función de r, por lo que el problema se convierte en un problema matemático: ¿A qué valor toma r el valor mínimo de la función S?
S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 3 2πr2 ?(V/r)?(V/r)=33 2πV2, si y sólo si 2πr2 = V/r, es decir, cuando r =3V/2π, la lata tiene una superficie mínima de 33 2πV2. En este momento, la altura de la lata es h =2r. Es decir, cuando la lata está diseñada como un cilindro equilátero se consume la menor cantidad de material.